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作者: 发布时间:2008-02-04 来源: 繁体版
  尽管“优化”常常被当作时髦用语,实际上它有着严密的数学原理作为基础。  优化是一门获取最大价值的艺术,无论你是在寻找一双鞋的最佳交易价格,还是在最高效率工作点上进行催化裂化装置的操作。当
  尽管“优化”常常被当作时髦用语,实际上它有着严密的数学原理作为基础。
  优化是一门获取最大价值的艺术,无论你是在寻找一双鞋的最佳交易价格,还是在最高效率工作点上进行催化裂化装置的操作。当可行的选择有限,且每一项选择的代价又非常清晰时,优化工作会相对比较简单。然而,有些优化问题会涉及到数千个变量,这就需要精密复杂的数学分析了。
  不过,对于所有的优化问题,都有如下几个确定的相同步骤:
  ■  确定需要最小化的代价,或者需要最大化的效益;
  ■  确定那些对代价或效益影响最大的可调变量或独立参数;
  ■  搜索最优解或最优参数,达到花费最低代价或者获取最高效益的目的。 单变量二次型代价函数
图1:在碟型卫星接收天线的定位问题中,代价函数(1)对
天线的实际仰角θ 与直指卫星方向的最优仰角 θoptimal 之间的
偏差进行了惩罚。由于其偏差进行了平方计算,因此上述代
价函数是一个二次函数。无论偏差是在正负哪个方向上增长,
其代价均以指数形式增加。该特殊的代价函数刚好只有一个
独立参数θ。因此在本图公式(2)中,当 C(θ)的导数为零时,
就取得了最优解。
局部极小点
图2:当天空中存在多颗卫星,此时搜寻最强的卫星信号,
就会在优化问题中引入局部极小点的概念。这就像代价函数
C(θ)中存在一些“凹点”,而这些点分别对应于那些正好指
向信号较弱的卫星时的天线位置。在本例当中,由于局部极
小点的存在,无论是严格地从左到右还是从右到左的路径进
行搜索,优化算法都将在其找到具有真实最小代价的最大强
度信号前停止搜索。


  电视信号的优化
  本文以电视机的碟形卫星接收天线为例。当天线不断旋转,并逐渐偏离对准卫星的角度时,其接收到的卫星电视信号强度将以指数形式下降。该优化问题的代价函数可参见例图“单变量二次型代价函数”。本例中我们暂时假设仅有天线的仰角是可调的。
  只有极少情况下,我们知道卫星的位置,从而可以简单地旋转碟形卫星接收天线的角度,使其直接对准卫星,将代价函数减小为零,从而轻易解决该优化问题。但是,对于更为复杂的优化问题,试凑法将是更为通用的技术路线,其原因是:代价函数可能并不是明确已知的,抑或优化参数很难被解析地计算出来。
  事实上,只要我们能够推测出可行解,并且对每个解的代价进行比较,那么上述试凑法的技术路线就是行之有效的。就碟形卫星接收天线而言,任何一个将碟形天线指向美国南部天空的角度都是合理的。每个角度所对应的代价可以使用某种仪表直接测量,当接收到的电视信号强度增加时,其发出的声音也随之变大。
  如果可以有效利用以前的结果,使得未来的估计更加精确,那么试凑法将变得更加有效。对于上述卫星天线的指向问题,相比于随机更改天线的指向,通过记录仪表此前各读数的相对音量,并将卫星天线的指向朝着音量更大的方向旋转,将更有效搜寻到信号更强的角度。从数学上来讲,上述过程相当于是梯度算法,本质上是将此前最好的解沿着代价函数的下坡方向移动,以达到取得最低代价的参数。
  复杂性
  另一方面,随机选取数百个可行参数,并对其进行评价以找到代价最低的参数也不失为一种有价值的方法。因为,我们可以基于如上数据在图上画出这些参数及其对应代价,得到一个经验代价函数图,而最优参数就可以直接由此图读出。 约束条件
图3:有时候,也许房子的屋檐会阻挡碟型卫星接收
天线的旋转,限制其仰角不能超过最大值θmax。在此
情况下,优化算法就因此受到了约束,只能考虑那些
小于θmax 的参数值,就如公式(3)中所显示的那样。
假设一颗高空飞翔的人造卫星所发出的信号最强,那
此时该问题的最优解就是:在屋檐这一约束允许下最
过程优化基础知识
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